“那……没有的话我就走了？”
他刚说完这句话，第三排的一个瘦高男生一下子就站了起来。
“李东……李东老师。”
管亦的声音有点不流畅。
叫一个比自己小的人“老师”，多少是有点别扭的。
但他现在顾不上这些了。
李东看着他，笑了笑。
“这位同学有什么没理解到的，随便问。”
管亦愣了一下。
他确实是有问题想问。
但问的不是李东刚才在台上讲的那些东西。
而是他自己的课题。
他的课题方向是曲率流的收敛性。
具体来说，就是Ricci流在高维紧致流形上长时间存在性的问题。
他在杜克数学期刊上发的那篇论文，解决的是三维情形下曲率张量衰减速率的一个关键估计。
但四维以上的情形，他卡了将近半年。
卡住他的地方，是Weyl曲率张量在高维流形上的衰减不够快。
三维的时候Weyl张量恒为零，所以不是问题，但四维以上这个项开始捣乱，他一直找不到一个好的方法去控制它的长时间行为。
可就在李东讲到零点对关联函数的极限行为那一段时，管亦脑子里突然闪过了一个念头……
李东用来控制余项O(log?1T)的那套手法，那种把高阶振荡项用加权平均逐层压制的技巧……
如果把它移植到Ricci流的能量估计里，用来做Weyl张量的衰减控制……
这个想法在他脑海里只存在了大概十几秒，模模糊糊的，看不清楚。
他马上就要抓住了。
可就在李东说“今天的公开课就到这里”的时候，那个灵感却突然没了！
然后他听见李东说“没有的话我就走了”。
他也不知道怎么回事，直接就站了起来。
“李东老师，我想问的和你刚才讲的……方向不太一样，可以吗？”
坐在第一排的许红伟皱了皱眉头。
他并不知道管亦此刻脑子里的想法。
他只是看见自己那个骨子里很高傲的学生，在一个比他年轻的人面前站了起来，说要问一个“不一样方向”的问题。
许红伟的第一反应是……
这小子不服，想在自己的主场上为难人。
他刚想站起来打圆场，李东已经笑了。
“可以啊，不过我不一定懂哦。”
“毕竟我才大一。”
台下研究生：？？？
管亦也觉得自己这么做好像不太合适。
可是他总有一个直觉。
这个人，一定能帮我抓住那个灵感。
所以他咬了咬牙，还是说了。
“李东老师，我的课题方向是Ricci流在高维紧致流形上的长时间存在性。”
省略……
他将自己刚才灵光一闪的的想法说了出来。
“我刚才听你讲零点对关联函数余项控制的时候，有一个想法……”
“你那套用加权平均逐层压制高阶振荡项的技巧，有没有可能移植到曲率流的能量估计框架里？”
“如果能把Weyl张量的时间积分用类似的加权窗函数做截断，再通过逐层迭代把高阶项的贡献压到次要项里去……这条路有没有可能走通？”
话音落下。
会场里安静了几秒。
大部分研究生完全听不懂管亦在说什么。
坐在旁边的林雪更是满脸茫然。
“长脑子的帅哥果然很帅……”
李东站在讲台上，听完了管亦的问题。
皱了皱眉头。
说实话，Ricci流这个方向他了解过，但没有深入研究过。
他看过佩雷尔曼用Ricci流证明庞加莱猜想的那几篇论文，也看过哈密尔顿早期关于Ricci流短时间存在性的工作。
但Weyl张量在高维情形下的衰减问题？
这个他确实没接触过。
不过，0.4的基础属性代表着什么？
代表着五分之二个牛顿。
牛顿代表着什么：看番外去！
五分之二个牛顿或许不能让他一眼看穿一个陌生领域的全貌，但已经足够让他在短的时间内，抓住一个问题的骨架。
前提是……
他得先搞清楚骨架长什么样。
所以李东看着管亦，问了一个在管亦看来有些意外的问题。
“我能先问你几个问题吗？”
管亦没明白他的意思，但还是点了点头。
“可以。”
于是李东开始问。
“你说的Weyl张量和Ricci张量的耦合，具体是在演化方程的哪一项出现的？是Rm * Rm的二次型展开里，还是散度项消掉以后剩下来的？”
管亦一愣。
这个问题问得很基础。
对于他来说，这是学Ricci流第一个月就应该搞清楚的事情。
但他还是老老实实地回答了。
“是Rm * Rm的二次型展开之后，Weyl-Weyl的交叉项。”
“三维的时候这个项不存在，四维以上它和Ricci张量的演化方程产生了非线性耦合，标准的Shi估计压不住。”
李东点了点头，又问。
“你之前用积分范数做的时候，能量泛函取的是什么？L2范数，还是带权的Sobolev范数？”
“L2。”管亦说，“带权的我也试过，但权函数的选取很敏感，稍微偏一点就会让低阶项爆掉。”
李东没再问了。
他闭上了嘴，开始思考。
台下几百双眼睛都盯着他。
管亦心里其实已经有些不抱希望了。
因为从李东问的这两个问题来看，他在Ricci流这个方向上的积累确实不深。
这很正常。
毕竟他才大一，他的主攻方向是解析数论，不可能在所有数学分支上都有研究。
管亦正准备给李东一个台阶下。
“没关系的，李东老师，这本来就不是你的方向，我就是随便……”
“等一下。”
李东抬起了头。
0.4的逻辑属性直接拉满。
“你刚才说权函数选取很敏感，低阶项容易爆掉。”
“那你有没有试过……不从能量泛函出发，而是从热核的渐近展开入手？”
管亦愣了。
“热核？”
“对。”李东说，“你想控制Weyl张量的长时间衰减，本质上是要控制曲率张量在Ricci流下的耗散速率。”
“与其去硬压Weyl-Weyl的交叉项，不如换一个角度。”
“你看Ricci流本身就是一个热方程的推广，它的基本解就是热核。”
“如果你把Weyl张量的L2范数写成热核卷积的形式，那它的长时间衰减行为就可以用热核的渐近展开来描述。”
省略……
他说到这里，顿了一下。
“至于你刚才提到的加权窗函数的想法，方向是对的，但你不应该直接拿来做Weyl张量的时间积分截断。”
“你应该拿来做的，是热核渐近展开的高阶余项的控制。”
“因为热核展开到有限阶以后，余项的衰减和你之前碰到的Weyl张量衰减，本质上是同一个问题。”
“但是通过加权平均做截断以后，余项的振荡行为可以被逐层吸收——这一步的技术细节你需要自己验证，但大的框架应该是通的。”
李东说完。
管亦站在那里，整个人都傻了。
不是因为李东说的每一句话他都听懂了。
而是因为——
他听懂的那部分，恰好就是那个消失的灵感。
热核的渐近展开。
把全局能量估计转化为局部几何不变量的递推。
……
他看见了。
虽然细节还需要大量的验证和计算，但方向……方向对了。
管亦张了张嘴，说不出话。
他的手在发抖。
坐在第一排的蔡天鑫和许红伟教授互相看了一眼。
眼中满是不可思议。
他们都看出来了。
李东刚才问那几个基础问题的时候，他显然是不了解Ricci流这个方向的。
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